群论中，共轭是一个核心概念。
1、 设a、x为群G中的元素，y是x的逆元，则xay称为a在x下的共轭元。
2、 例如，在三阶置换群S?中：
3、 单位元为 I = (1,2,3)，表示不进行任何置换操作。
4、 将三元组 a 的前两个元素进行交换。
5、 将向量x=(2,3,1)进行轮换操作，首元素移至末尾。
6、 x的逆元为y，其中x等于(3,1,2)。
7、 关于x的共轭运算，即xay等于xa作用于(3,1,2)，再由x作用得(1,3,2)，最终结果为(3,2,1)。
8、 由于ax等于(3,2,1)，因此a关于x的共轭可表示为xay=ax。
9、 对于群G中的每个元素a，其所有共轭元素构成的集合称为a的共轭类。
10、 例如，在S3中，可逐一计算出a=(2,1,3)的共轭类。
11、 其中，a的逆元为a，x的逆元为xx，ax的逆元为ax，xa的逆元为xa。
12、 a关于I的共轭即为a自身。
13、 a关于x的共轭运算结果为xax??，等于ax。
14、 a关于xx的共轭等于xxax，即xxax=xa。
15、 a对ax的共轭等于axa逆等于x，即axa??=x。
16、 a关于x的共轭运算满足a*x*a=x，即三次作用后等于x。
17、 因此，a在S3中的共轭类为{a, ax, xa}。
18、 共轭对称
19、 对于群G中的元素a，若存在G中某个元素x，使得a在x下的共轭仍为a，则称x为a的共轭不变元。
20、 例如，集合 S3 包含元素 (1,2,3)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1) 和 (1,3,2)，可简记为 {I, a, x, xx, ax, xa}，其中每个符号代表一种特定的排列方式。
21、 若a关于I的共轭等于a，则称I为a的共轭不变元。
22、 群G中与a满足共轭不变的所有元素构成的集合称为a的中心化子。
23、 例如，集合 S3 可表示为所有 (1,2,3) 的排列组合，即 {(1,2,3), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,3,2)}，也可用符号记作 {I, a, x, xx, ax, xa}。
24、 a的中心化子为仅含I与a的集合。
25、 由于IaI等于a，且aaa也等于a。
26、 中心化子与共轭类密切相关，体现群作用下的稳定性质。
27、 若群G含n个元素，a的共轭类包含m个元素。
28、 因此，a的中心化子包含n/m个元素。
29、 需注意m能被n整除，这一点十分关键。
30、 例如，在集合 S3 = {(1,2,3), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (1,3,2)} 中，可将其表示为 {I, a, x, xx, ax, xa}。
31、 S3含六个元素，a的共轭类含三个元素，其中心化子包含两个元素。
32、 因此，6等于2乘以3。
