1、 null
2、 设数列{An}收敛，必存在极限M，对任意ε>0，总存在正整数N，当n>N时，|An?M|
3、 若数列{An}仅有有限个不同点，则从某项开始必出现无穷多个相同项，即成为常数列；否则，该数列将不满足柯西收敛条件。
4、 若数列{An}包含无穷多个互不相同的点，则由聚点定理可知其至少存在一个聚点。假设{An}有两个不同的聚点d1与d2，且d1 < d2，令e = d2 - d1。则在邻域U(d1, e/3)和U(d2, e/3)内均含有{An}的无穷多项。然而，这与条件存在正整数N，当m, n > N时，|An - Am| < H相矛盾。因此，原假设不成立，{An}只能有一个聚点。
5、 取d1为极限点，当n、m大于某正整数N时，若｜An－Am｜＜H／2（H为任意大于0的数），则存在Ah属于邻域U（d1；e／3），且｜Ah－d1｜＜H／2。于是有｜An－d1｜≤｜An－Ah｜＋｜Ah－d1｜＜H／2＋H／2＝H，因此数列{An}收敛于d1。
6、 拓展信息
7、 数列收敛当且仅当对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m、n均大于N且m≠n时，对应项之差的绝对值小于ε。
8、 满足该条件的数列{xn}称为柯西序列，上述定理可表述为：数列{xn}收敛的充要条件是它为柯西序列。
9、 数列{xn}收敛当且仅当其项随序号增大趋于彼此接近，即足够后面的任意两项之间的距离可任意小。
10、 当m,n大于N时，必要性成立。
11、 聚点定理指出，有界数列必有收敛子列。
12、 柯西收敛准则指出，数列收敛当且仅当其为柯西列。
